Algebra | Gaokao - Wyatt's Notes

高考 mathematics 学习笔记 - Algebra

一元二次方程的标准形式为 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$），其解法包括：

求根公式： $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$：

• $\Delta > 0$：两个不相等的实数根
• $\Delta = 0$：两个相等的实数根（重根）
• $\Delta < 0$：无实数根（两个共轭复数根）

韦达定理： 若 $x_1, x_2$ 是方程的两个根，则： $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）。

集合运算：

• 交集：$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}$
• 并集：$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}$
• 补集：$\complement_U A = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\}$

德摩根定律： $\complement_U(A \cap B) = (\complement_U A) \cup (\complement_U B)$ $\complement_U(A \cup B) = (\complement_U A) \cap (\complement_U B)$

均值不等式： 对于正数 $a, b$： $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ 等号成立当且仅当 $a = b$。

柯西不等式（二维形式）： $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$

等差数列： $a_n = a_1 + (n-1)d$，前 $n$ 项和 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

等比数列： $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$，前 $n$ 项和 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$（$q \neq 1$）

题目： 已知方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，求 $x_1^2 + x_2^2$ 的值。

解答：

步骤1：识别系数 $a = 1, b = -5, c = 6$

步骤2：由韦达定理： $x_1 + x_2 = 5, \quad x_1 \cdot x_2 = 6$

步骤3：利用恒等变换： $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 25 - 12 = 13$

答案： $x_1^2 + x_2^2 = 13$

题目： 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_3 = 7, a_7 = 19$，求 $a_{10}$。

解答：

步骤1：由等差数列通项公式建立方程组： $\begin{cases} a_1 + 2d = 7 \\ a_1 + 6d = 19 \end{cases}$

步骤2：两式相减得 $4d = 12$，故 $d = 3$

步骤3：代入得 $a_1 = 1$，因此： $a_{10} = a_1 + 9d = 1 + 27 = 28$

答案： $a_{10} = 28$

题目： 已知全集 $U = \mathbb{R}$，集合 $A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\}$，$B = \{x \mid x > 1\}$，求 $A \cap (\complement_U B)$。

解答：

步骤1：解不等式 $x^2 - 3x + 2 \leq 0$，得 $A = [1, 2]$

步骤2：$\complement_U B = \{x \mid x \leq 1\} = (-\infty, 1]$

步骤3：$A \cap (\complement_U B) = [1, 2] \cap (-\infty, 1] = \{1\}$

答案： $A \cap (\complement_U B) = \{1\}$

1. 涉及一元二次方程时，优先考虑韦达定理而非直接求根
2. 等差数列求和公式 $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$ 在 $d$ 已知时更方便
3. 集合问题注意端点是否包含（开区间与闭区间）
4. 不等式证明中，均值不等式的使用前提是各变量为正数

1. 解方程 $2x^2 - 7x + 3 = 0$，并验证韦达定理
2. 等差数列 $\{a_n\}$ 中，$S_{10} = 100$，求 $a_1 + a_{10}$
3. 已知 $A = \{1, 2, 3, 4\}$，$B = \{2, 4, 6, 8\}$，求 $A \cup B$ 和 $A \cap B$

题目： 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 2$，公比 $q = 3$，求前 $5$ 项和 $S_5$。

解答：

步骤1：由等比数列求和公式： $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$

步骤2：代入数据： $S_5 = \frac{2(1 - 3^5)}{1 - 3} = \frac{2(1 - 243)}{-2} = \frac{2 \times (-242)}{-2} = 242$

答案： $S_5 = 242$

题目： 已知 $x > 0$，求 $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ 的最小值。

解答：

步骤1：由均值不等式，对正数 $a, b$： $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$

步骤2：令 $a = x$，$b = \frac{1}{x}$： $\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 1$

步骤3：因此 $x + \frac{1}{x} \geq 2$，等号成立当且仅当 $x = \frac{1}{x}$，即 $x = 1$。

答案： 最小值为 $2$，当 $x = 1$ 时取得

题目： 已知方程 $x^2 - 3x + m = 0$ 的两根之比为 $1:2$，求 $m$ 的值。

解答：

步骤1：设两根为 $x_1 = a$，$x_2 = 2a$。

步骤2：由韦达定理： $x_1 + x_2 = 3a = 3 \implies a = 1$ $x_1 \cdot x_2 = 2a^2 = m \implies m = 2$

步骤3：验证判别式 $\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$，方程有两个不相等的实数根。

答案： $m = 2$

对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a > 0$），判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 决定了根的情况。但在高考中，经常考查根的分布问题，即讨论根在某个区间内的条件。

两根都大于 $k$ 的条件： $\Delta \geq 0, \quad -\frac{b}{2a} > k, \quad f(k) > 0$

两根都小于 $k$ 的条件： $\Delta \geq 0, \quad -\frac{b}{2a} < k, \quad f(k) > 0$

一根大于 $k$，一根小于 $k$ 的条件： $f(k) < 0$

等差数列和等比数列的综合问题通常涉及：

• 利用通项公式建立方程组
• 利用求和公式计算部分和
• 判断数列的单调性和有界性
• 与不等式结合的最值问题

关键公式：

• 等差数列：$a_n = a_1 + (n-1)d$，$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$
• 等比数列：$a_n = a_1 q^{n-1}$，$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q \neq 1$）

题目： 若方程 $x^2 + 2mx + m + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，求 $m$ 的取值范围。

解答：

步骤1：由题意，方程有两个不相等的实数根，故判别式 $\Delta > 0$。

步骤2：计算判别式： $\Delta = (2m)^2 - 4(m + 2) = 4m^2 - 4m - 8$

步骤3：令 $\Delta > 0$： $4m^2 - 4m - 8 > 0$ $m^2 - m - 2 > 0$ $(m - 2)(m + 1) > 0$

步骤4：解不等式得 $m < -1$ 或 $m > 2$。

答案： $m$ 的取值范围为 $(-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$

常见错误： 忘记二次项系数 $a \neq 0$ 的条件。本题 $a = 1$，始终满足。

题目： 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $S_{10} = 100$，$S_{20} = 400$，求 $S_{30}$。

解答：

步骤1：由等差数列求和公式 $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$，列出方程组： $\begin{cases} 10a_1 + 45d = 100 \\ 20a_1 + 190d = 400 \end{cases}$

步骤2：化简： $\begin{cases} a_1 + 4.5d = 10 \\ a_1 + 9.5d = 20 \end{cases}$

步骤3：两式相减得 $5d = 10$，故 $d = 2$，$a_1 = 1$。

步骤4：计算 $S_{30}$： $S_{30} = 30 \times 1 + \frac{30 \times 29}{2} \times 2 = 30 + 870 = 900$

答案： $S_{30} = 900$

考试技巧： 等差数列中，$S_n$、$S_{2n} - S_n$、$S_{3n} - S_{2n}$ 也构成等差数列。利用此性质可快速验证：$100$、$300$、$500$ 成等差，故 $S_{30} = 100 + 300 + 500 = 900$。

题目： 已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 2x - 3 < 0\}$，$B = \{x \mid x > a\}$。若 $A \subseteq B$，求实数 $a$ 的取值范围。

解答：

步骤1：解不等式 $x^2 - 2x - 3 < 0$： $(x - 3)(x + 1) < 0$ $A = (-1, 3)$

步骤2：由 $A \subseteq B$，即 $(-1, 3) \subseteq (a, +\infty)$。

步骤3：要使 $A$ 中所有元素都大于 $a$，需 $a \leq -1$。

步骤4：当 $a = -1$ 时，$B = (-1, +\infty)$，$A = (-1, 3) \subseteq B$ 成立。

答案： $a \leq -1$，即 $a \in (-\infty, -1]$

常见错误： 注意端点是否可以取等号。若 $a = -1$，$A = (-1, 3)$ 中的元素都大于 $-1$，故 $a = -1$ 可以取到。

题目： 若方程 $x^2 + 2mx + m + 2 = 0$ 的两个实数根都大于 $1$，求 $m$ 的取值范围。

解答：

步骤1：设 $f(x) = x^2 + 2mx + m + 2$，方程有两个实数根都大于 $1$ 的条件为：